Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=1，且[2+（-1）ⁿ⁺¹]a_n+2=a_n+（-1）ⁿ+1（n∈N^*），設(shè)b_n=a_2n-1，c_n=a_2n．
（1）求數(shù)列{b_n}和{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令d_n=b_n•c_n，記數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）在條件中，用2n-1代換n，得[2+（-1）²ⁿ]a_2n+1=a_2n-1，可得{b_n}是等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{3}$；在條件中，用2n代換n，得[2+（-1）²ⁿ⁺¹]a_2n+2=a_2n+2，可得{c_n}是等差數(shù)列，公差為2，即可求數(shù)列{b_n}和{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定d_n=b_n•c_n，利用錯(cuò)位相減法數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為T_n，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：在條件中，用2n-1代換n，得[2+（-1）²ⁿ]a_2n+1=a_2n-1，
即3a_2n+1=a_2n-1，
∵b_n=a_2n-1，
∴{b_n}是等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{3}$，
n=1時(shí)，b₁=a₁=$\frac{1}{3}$，∴b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
在條件中，用2n代換n，得[2+（-1）²ⁿ⁺¹]a_2n+2=a_2n+2
即a_2n+2-a_2n=2，
∵c_n=a_2n，
∴{c_n}是等差數(shù)列，公差為2
n=1時(shí)，c₁=a₂=1，∴c_n=2n-1；
（2）證明：d_n=b_n•c_n=（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴T_n=1$•\frac{1}{3}$+3•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{3}$T_n=1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+3•$\frac{1}{{3}^{3}}$…+（2n-3）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$
兩式相減可得$\frac{2}{3}$T_n=1$•\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•$\frac{1}{{3}^{3}}$…+2•$\frac{1}{{3}^{n}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{{3}^{n}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=1-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{3}{2}$•（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確利用錯(cuò)位相減法是關(guān)鍵．