Question

20．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx在（$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． m=$\frac{1}{4}$
• B． 0＜m＜$\frac{1}{4}$
• C． m≥$\frac{1}{4}$
• D． m≤$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx在（$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，得其導(dǎo)函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)大于等于0恒成立，分離參數(shù)m后求出x²在（$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)的范圍得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx，${f}^{′}（x）=x-\frac{m}{x}$，
由f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
得$x-\frac{m}{x}≥0$在（$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)恒成立，
即$\frac{m}{x}≤x$，也就是m≤x²在（$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)恒成立，
∵y=x²在（$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，∴${x}^{2}＞\frac{1}{4}$，
則滿足m≤x²在（$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是$m≤\frac{1}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)期間，訓(xùn)練了分離變量法，是中檔題．