Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx（a≥0）
（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求y=f（x）在區(qū)間（0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=0時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）$a=0，f（x）=2lnx-x，f'（x）=\frac{2}{x}-1=\frac{2-x}{x}（{x＞0}）$，
在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．
（2）$f'（x）=ax-（{2a+1}）+\frac{2}{x}（{x＞0}）$，$f'（x）=\frac{{（{ax-1}）（{x-2}）}}{x}（{x＞0}）$，
 ①當(dāng)a=0時，由（1）知f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
故在（0，2]上f（x）_max=f（2）=2ln2-2，
②當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{a}≥2$，在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0；
故f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
故在（0，2]上f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2，
③當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時，$0＜\frac{1}{a}＜2$，在區(qū)間$（{0，\frac{1}{a}}）$上，f'（x）＞0；
在區(qū)間$（{\frac{1}{a}，2}）$上，f'（x）＜0，
f（x）在$（{0，\frac{1}{a}}]$上單調(diào)遞增，在$[{\frac{1}{a}，2}]$上單調(diào)遞減，
故在（0，2]上$f{（x）_{max}}=f（{\frac{1}{a}}）=-2-\frac{1}{2a}-2lna$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．