Question

設拋物線y²=8x與其過焦點的斜率為1的直線交于A、B兩點，O為坐標原點，則•________．

Answer 1

-12
分析：求出拋物線的焦點的坐標，用點斜式求得直線AB的方程，代入拋物線y²=8x的方程化簡，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出 x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，進而求得y₁•y₂的值，由=x₁•x₂+y₁•y₂ 運算求得結(jié)果．
解答：拋物線y²=8x中，p=4，=2，故拋物線的焦點的坐標為（2，0），設A、B兩點的坐標分別為
（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），由題意有可得 直線AB的方程為 y-0=x-2，即 y=x-2，
代入拋物線y²=8x的方程化簡可得 x²-12x+4=0，∴x₁+x₂=12，x₁•x₂=4，
∴y₁•y₂=（x₁-2）（x₂-2）=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=-16，
∴=（x₁，y₁）•（x₂，y₂ ）=x₁•x₂+y₁•y₂=4-16=-12，
故答案為-12．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩個向量的數(shù)量積公式的應用，求出x₁•x₂ 和y₁•y₂的值，是解題的關(guān)鍵．