Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-x）+1，-1≤x＜k}\\{{x}^{3}-3x+2，k≤x≤a}\end{array}\right.$，若存在k使函數(shù)f（x）的值域是[0.2]，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 第一步：判斷函數(shù)f（x）在不同區(qū)間上的單調性；
第二步：求出區(qū)間端點處及臨界點的函數(shù)值；
第三步：作出f（x）在[-1，$\sqrt{3}$]內的圖象；
第四步：對臨界值k進行討論，即可找到使函教f（x）的值域為[0，2]的a的范圍．

解答 解：當-1≤x＜k時，f（x）=log₂（1-x）+1為減函數(shù)，
且在區(qū)間左端點處有f（-1）=2，
令f（x）=0，則x=$\frac{1}{2}$．
令f（x）=x³-3x+2=2，解得x=0或$±\sqrt{3}$，
由于f（x）的值域是[0.2]，則k≤$\frac{1}{2}$，
當k≤x≤a時，f（x）=x³-3x+2，
則f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，則x=1，或x=-1，
所以函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，1）上為減函數(shù)，在[1，$\sqrt{3}$]上為增函數(shù)，
從而函數(shù)有極小值f（1）=1³-3×1+2=0，函數(shù)在右端點處的函數(shù)值為f（$\sqrt{3}$）=2．
畫出函數(shù)f（x）在[-1，$\sqrt{3}$]內的大致圖象，如右圖所示．
根據(jù)函教f（x）的值域是[0，2]，
則a的范圍是[$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]．

點評 1．本題考查了分段函數(shù)的單調性，值域及圖象，關鍵是弄清臨界值k的變化情況．
2．對于分段函數(shù)的應用，常運用數(shù)形結合思想，借助圖象對函數(shù)進行分段處理，同時也體現(xiàn)了分類討論的思想．