Question

16．函數(shù) f（x）=cos³x+sin²x-cosx的最大值是（　　）

• A． $\frac{8}{27}$
• B． 1
• C． $\frac{32}{27}$
• D． 2

Answer 1

分析 化簡已知函數(shù)換元可得y=t³-t²-t+1，t∈[-1，1]，由導數(shù)法判單調(diào)性可得當t=$-\frac{1}{3}$時，y取最大值，代值計算可得．

解答 解：化簡可得f（x）=cos³x+sin²x-cosx
=cos³x+1-cos²x-cosx
令cosx=t，則t∈[-1，1]，
換元可得y=t³-t²-t+1，t∈[-1，1]，
求導數(shù)可得y′=3t²-2t-1=（3t+1）（t-1），
令y′=（3t+1）（t-1）＜0可解得-$\frac{1}{3}$＜t＜1，
令y′=（3t+1）（t-1）＞0可解得t＜-$\frac{1}{3}$或t＞1，
∴函數(shù)y=t³-t²-t+1在（-1，-$\frac{1}{3}$）上單調(diào)遞增，在（$-\frac{1}{3}$，1）上單調(diào)遞減，
∴當t=$-\frac{1}{3}$時，y取最大值$\frac{32}{27}$
故選：C

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，換元后由導數(shù)法判單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．