【題目】已知拋物線過點(diǎn),且P到拋物線焦點(diǎn)的距離為2直線過點(diǎn),且與拋物線相交于AB兩點(diǎn).

(Ⅰ)求拋物線的方程;

(Ⅱ)若點(diǎn)Q恰為線段AB的中點(diǎn),求直線的方程;

(Ⅲ)過點(diǎn)作直線MA,MB分別交拋物線于C,D兩點(diǎn),請(qǐng)問C,D,Q三點(diǎn)能否共線?若能,求出直線的斜率;若不能,請(qǐng)說明理由.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)能,.

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,結(jié)合拋物線的性質(zhì),即可求出拋物線的方程為。

(Ⅱ)設(shè),,設(shè)而不求利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率,再利用點(diǎn)斜式即可求出直線的方程。

(Ⅲ)設(shè),,,,且.聯(lián)立直線與拋物線方程,得到聯(lián)立方程,再利用韋達(dá)定理以及M,A,C三點(diǎn)共線得出的數(shù)量關(guān)系,假設(shè)C,D,Q三點(diǎn)共線,構(gòu)造關(guān)于 的等式,轉(zhuǎn)化為的等式,進(jìn)行求解即可得出結(jié)論。

(Ⅰ)由題意有,及,

解得.故拋物線的方程為.

(Ⅱ)設(shè),則 ,

兩式相減得,即.

于是,,

(注:利用直線與拋物線方程聯(lián)立,求得,同樣得4分)

故直線l的方程為,即;

(Ⅲ)設(shè),,,且.

,得,則,

M,AC三點(diǎn)共線,可得,化簡得,即.

同理可得, ,

假設(shè)C,D,Q三點(diǎn)共線,則有,化簡得

進(jìn)一步可得,,即,解得.

因此,當(dāng)直線l的斜率時(shí),C,DQ三點(diǎn)共線.

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