Question

13．如圖所示，四邊形ABCD是菱形，O是AC與BD的交點(diǎn)，SA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：平面SAC⊥平面SBD；
（Ⅱ）若∠DAB=120°，DS⊥BS，AB=2，求二面角S-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出SA⊥BD，AC⊥BD，從而BD⊥面SAC，由此能證明面SBD⊥面SAC．
（Ⅱ）推導(dǎo)出SA⊥BC，過A作AF⊥BC于F，則BC⊥面SAF，連接SF，則SF⊥BC，從而∠SFA是二面角S-BC-A的平面角，由此能求出二面角S-BC-A的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)镾A⊥面ABCD，BD?面ABCD
所以SA⊥BD．（1分）
又因?yàn)锳BCD是菱形，所以AC⊥BD，（2分）
又SA∩AC=A，所以BD⊥面SAC，（3分）
又BD?面SBD，故面SBD⊥面SAC．（4分）
解：（Ⅱ）因?yàn)镾A⊥面ABCD，BC?面ABCD，所以SA⊥BC，（5分）
過A作AF⊥BC于F，則BC⊥面SAF，連接SF，則SF⊥BC，（6分）
所以∠SFA是二面角S-BC-A的平面角．（7分）
在菱形ABCD中，∠DAB=120°，
所以∠CAB=60°，$AO=\frac{1}{2}AB=1$，$BO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AB=\sqrt{3}$，（8分）
因?yàn)?DS⊥BS，O是DB中點(diǎn)，SO=\frac{1}{2}DB=\sqrt{3}$．（9分）
$SA=\sqrt{S{O^2}-A{O^2}}=\sqrt{2}$，（10分）
$AF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AB=\sqrt{3}$，$SF=\sqrt{S{A^2}+A{F^2}}=\sqrt{5}$，（11分）
所以$cos∠SFA=\frac{AF}{SF}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，即二面角S-BC-A的余弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．