Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，-2）與$\overrightarrow$（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-φ）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，求sinφ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量垂直數(shù)量積為0，得到sinθ=2cosθ，結(jié)合基本工關(guān)系式求sinθ和cosθ；
（2）利用角的等價變換φ=θ-（θ-φ），結(jié)合（1）求sinφ．

解答 解：（1）（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=sinθ-2cosθ=0，即sinθ=2cosθ，
又∵sin²θ+cos²θ=1，
∴4cos²θ+cos²θ=1，即cos²θ=$\frac{1}{5}$，∴sin²θ=$\frac{4}{5}$，
又∴sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（6分）
（2）∵sin（θ-φ）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴cos（θ-φ）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinφ=sin[θ-（θ-φ）]=sinθcos（θ-φ）-cosθsin（θ-φ）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．…（12分）

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標運算以及利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡三角函數(shù)式；求值．