Question

15．已知數(shù)列{a_n}是首項為2的等差數(shù)列，其前n項和S_n滿足4S_n=a_n•a_n+1，數(shù)列{b_n}是以$\frac{1}{2}$為首項的等比數(shù)列，且log₂b₁+log₂b₂+log₂b₃=-6
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}．{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，若對任意n∈N^*不等式$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≥$\frac{1}{4}$λ-$\frac{1}{2}$T_n恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用“裂項求和”可得$\frac{1}{{S}_{1}}$，利用等比數(shù)列的前n項和公式可得T_n，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得，?4a₁=a₁（a₁+d），解得d=2，
∴a_n=2n，
由log₂b₁+log₂b₂+log₂b₃=-6，
得出b₁b₂b₃=b₂³=$\frac{1}{64}$，
b₂=$\frac{1}{4}$，
∵b₁=$\frac{1}{2}$，
從而公比q=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$，
又T_n=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴不等式$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$≥$\frac{1}{4}$λ-$\frac{1}{2}$T_n，
即1$-\frac{1}{n+1}$$≥\frac{1}{4}$λ$-\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$$-\frac{1}{{2}^{n+1}}$$≥\frac{1}{4}$λ，
∵g（n）=$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{n+1}$$-\frac{1}{{2}^{n+1}}$對n∈N^*遞增，
∴g（n）_min=$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{2}$$-\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴只需要$\frac{3}{4}$$≥\frac{1}{4}$λ．即λ的取值范圍為（-∞，3]．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題