Question

13．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）過(guò)點(diǎn)P（1，ln2-1），求曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線方程；
（2）討論f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（3）是否存在常數(shù)a∈N，使得a≥（1+$\frac{1}{x}$）^x對(duì)任意正實(shí)數(shù)x都成立？若存在，試求出a的最小值并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由曲線過(guò)P，可得a=1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，a=0，a＞0，a＜0，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）由（2）可得a=1有x∈（0，+∞）時(shí)，ln（1+x）＜x恒成立.$\frac{1}{x}$代換ln（1+x）＜x中的x得，ln（1+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$，再取x=2可得2＜（1+$\frac{1}{x}$）^x＜e，即可得到a的最小值．

解答 解：（1）由曲線y=f（x）過(guò)點(diǎn)P（1，ln2-1），
知f（1）=ln2-a=ln2-1，所以a=1，
因?yàn)閒（x）=ln（x+1）-x，f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1，
所以f′（1）=-$\frac{1}{2}$，
所以切線方程為y=-$\frac{1}{2}$x+ln2-$\frac{1}{2}$；
（2）因?yàn)閒′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a=$\frac{1-ax-a}{x+1}$，
令f′（x）＞0，得1-ax-a＞0，即ax＜1-a，
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增，
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-1，$\frac{1-a}{a}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{1-a}{a}$，+∞）單調(diào)遞減，
③當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)?\frac{1-a}{a}$＜-1，所以f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-1，$\frac{1-a}{a}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{1-a}{a}$，+∞）單調(diào)遞減． 
（3）由（2）知當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞增，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，
即當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ln（1+x）＜x恒成立．
$\frac{1}{x}$代換ln（1+x）＜x中的x得，ln（1+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$，
所以xln（1+$\frac{1}{x}$）＜1，
即ln（1+$\frac{1}{x}$）^x＜1，所以（1+$\frac{1}{x}$）^x＜e，
取x=2時(shí)，（1+$\frac{1}{x}$）^x=$\frac{9}{4}$＞2，
所以a_min=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題，注意運(yùn)用單調(diào)性和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．