Question

4．已知$\overrightarrow{OA}$=（0，2），$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）（α∈R），則$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$成角的取值范圍為[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．

Answer 1

分析 易得C（2+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）為圓心為（2，0）半徑為$\sqrt{2}$的圓M上的任意一點(diǎn)，由直線和圓相切可得．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（0，2），$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{BC}$=（2+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），∴C（2+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），
∵C（2+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）為圓心為（2，0）半徑為$\sqrt{2}$的圓M上的任意一點(diǎn)，
設(shè)y=kx為圓M的切線，則$\frac{|2k-0|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，解得k=±1，
∴兩切線的傾斜角為45°和135°，
∴兩切線和y軸正半軸的夾角為135°和45°，
∴$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$成角的取值范圍為[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．
故答案為：[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量夾角的取值范圍，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．