Question

8．已知l為拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)，AB為過(guò)焦點(diǎn)F的弦，M為AB中點(diǎn)，過(guò)M作直線(xiàn)L的垂線(xiàn)，垂足為N交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，求證：P點(diǎn)平分MN．

Answer 1

分析 設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），可得AB連線(xiàn)方程，求出MN的中點(diǎn)，證明在拋物線(xiàn)上，即可證明結(jié)論．

解答 證明：設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），則AB連線(xiàn)方程為y=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$x+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
（$\frac{p}{2}$，0）代入可得p²+y₁y₂=0，∴p²=-y₁y₂，
MN的中點(diǎn)為（$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-2{p}^{2}}{8p}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
∴2p•$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-2{p}^{2}}{8p}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2{y}_{1}{y}_{2}}{4}$=（$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）²，
∴MN中點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，即P所以P平分MN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．