Question

13．已知圓C的圓心極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{4}$），半徑為1．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若Q是圓C上動點，點P在直線OQ上，且$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OQ}$，求點P軌跡的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）先求出圓的直角坐標(biāo)方程，再由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，θ=y，能求出圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)Q（$\sqrt{2}+cosθ$，$\sqrt{2}+sinθ$），（0≤θ＜2π）P（x，y），由$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OQ}$，得（x，y）=（2$\sqrt{2}+2cosθ$，2$\sqrt{2}+2sinθ$），由此先求出P的直角坐標(biāo)方程，再由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，θ=y，能求出點P軌跡的極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）∵圓C的圓心極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{4}$），半徑為1．
∴x=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，y=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
∴圓的直角坐標(biāo)方程為（x-$\sqrt{2}$）²+（y-$\sqrt{2}$）²=1，
即${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y+3=0$，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，θ=y，
得圓C的極坐標(biāo)方程為${ρ}^{2}-2\sqrt{2}ρ（cosθ+sinθ）+3$=0．
（2）∵Q是圓C上動點，O（　�。�，0），∴設(shè)Q（$\sqrt{2}+cosθ$，$\sqrt{2}+sinθ$），（0≤θ＜2π）
設(shè)P（x，y），∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OQ}$，∴（x，y）=（2$\sqrt{2}+2cosθ$，2$\sqrt{2}+2sinθ$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}+2cosθ}\\{y=2\sqrt{2}+2sinθ}\end{array}\right.，0≤θ＜2π$，
∴P的直角坐標(biāo)方程為$（x-2\sqrt{2}）^{2}+（y-2\sqrt{2}）^{2}=4$，
即${x}^{2}+{y}^{2}-4\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y+12=0$，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，θ=y，
得點P軌跡的極坐標(biāo)方程為${ρ}^{2}-4\sqrt{2}ρ（cosθ+sinθ）+12=0$．

點評 本題考查圓的極坐標(biāo)方程和點的軌跡的極坐標(biāo)方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化公式的合理運用．