Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{tanxtan2x}{tan2x-tanx}$+$\sqrt{3}$（sin²x-cos²x），
（1）把f（x）的表達(dá)式化簡為Asin（ωx+φ）的形式；
（2）求f（x）在[0，π]的單凋遞減區(qū)間和最大值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）解2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得單凋遞減區(qū)間，可得最值和相應(yīng)的x值．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得：
f（x）=$\frac{tanxtan2x}{tan2x-tanx}$+$\sqrt{3}$（sin²x-cos²x）
=$\frac{tan2x}{\frac{2}{1-ta{n}^{2}x}-1}$-$\sqrt{3}$cos2x=tan2x•$\frac{1-ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x}$-$\sqrt{3}$cos2x
=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$•$\frac{1-ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x}$-$\sqrt{3}$cos2x=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，
∴當(dāng)k=0時(shí)可得f（x）在[0，π]的單凋遞減區(qū)間為[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]，
當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，函數(shù)取最大值2，故相應(yīng)的x值為$\frac{5π}{12}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及三角函數(shù)恒等變換和三角函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．