Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞1）
（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性；
（Ⅱ）判斷其單調(diào)性；
（Ⅲ）求其值域．

Answer 1

分析 （1）直接運用奇偶性的定義判斷f（x）為奇函數(shù)；
（2）先將函數(shù)式裂項為f（x）=1-$\frac{2}{a^x+1}$，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，確定f（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，
且f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1-a^x}{1+a^x}$=-$\frac{a^x-1}{a^x+1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）f（x）=$\frac{a^x-1}{a^x+1}$=1-$\frac{2}{a^x+1}$，
∵a＞1時，∴函數(shù)y=a^x在R上單調(diào)遞增，
∴y=$\frac{2}{a^x+1}$單調(diào)遞減，因此，y=-$\frac{2}{a^x+1}$單調(diào)遞增，
故f（x）=1-$\frac{2}{a^x+1}$在R上是增函數(shù)；
（3）由f（x）=1-$\frac{2}{a^x+1}$，
∵a^x＞0，∴a^x+1＞1，
因此，$\frac{2}{a^x+1}$∈（0，2），
所以，1-$\frac{2}{a^x+1}$∈（-1，1），
故函數(shù)f（x）的值域為：（-1，1）．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷和證明，函數(shù)單調(diào)性的判斷和函數(shù)值域的解法，涉及指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．