Question

為慶祝五一，某旅游景點(diǎn)推出“挑戰(zhàn)自我”節(jié)目，挑戰(zhàn)者闖關(guān)需要回答三個(gè)問題，其中前兩個(gè)問題回答正確各得10分，回答不正確得0分，第三個(gè)題目，回答正確得20分，回答不正確得一10分，總得分不少于30分即可過關(guān)．如果一位挑戰(zhàn)者回答前兩題正確的概率都是

4

5

，回答第三題正確的概率為

3

5

，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．記這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問題的總得分為ξ．
（1）這位挑戰(zhàn)者過關(guān)的概率有多大？
（2）求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）這位挑戰(zhàn)者有兩種情況能過關(guān)：①第三個(gè)答對，前兩個(gè)一對一錯(cuò)，得20+10+0=30分，②三個(gè)題目均答對，得10+10+20=40分，由此能求出這位挑戰(zhàn)者過關(guān)的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為：-10，0，10，20，30，40，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

解答： （本題滿分12分）
解：（1）這位挑戰(zhàn)者有兩種情況能過關(guān)：
①第三個(gè)答對，前兩個(gè)一對一錯(cuò)，得20+10+0=30分，
②三個(gè)題目均答對，得10+10+20=40分，…（1分）
其概率分別為P（ξ=30）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

=

24

125

，…（2分）
P（ξ=40）=

4

5

×

4

5

×

3

5

=

48

125

，
這位挑戰(zhàn)者過關(guān)的概率為：
P（ξ≥30）=P（ξ=30）+P（ξ=40）=

24

125

+

48

125

=

72

125

．
（2）如果三個(gè)題目均答錯(cuò)，得0+0+（-10）=-10分，
如果前兩個(gè)中一對一錯(cuò)，第二個(gè)錯(cuò)，得10+0+（-10）=0分；
前兩個(gè)錯(cuò)，第三個(gè)對，得0+0+20=20分；
如果前兩個(gè)對，第三個(gè)錯(cuò)，得10+10+（-10）=10分，…（5分）
故ξ的可能取值為：-10，0，10，20，30，40…（6分）
P（ξ=-10）=(1-

4

5

)(1-

4

5

)(1-

3

5

)=

2

125

，
P（ξ=0）=

C

1 2

×

1

5

×

4

5

×

2

5

=

16

125

，
P（ξ=10）=

4

5

×

4

5

×

2

5

=

32

125

，
P（ξ=20）=

1

5

×

1

5

×

3

5

=

3

125

，
P（ξ=30）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

=

24

125

，
P（ξ=40）=

4

5

×

4

5

×

3

5

=

48

125

，
∴P（ξ=30）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

=

24

125

，…（2分）
P（ξ=40）=

4

5

×

4

5

×

3

5

=

48

125

，
∴ξ的分布列為：

ξ	-10	0	10	20	30	40
P	2 125	16 125	32 125	3 125	24 125	48 125

Eξ=-10×

2

125

+0×

16

125

+10×

32

125

+20×

3

125

+30×

24

125

+40×

48

125

=24．

點(diǎn)評：本題主要考查概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決簡單實(shí)際問題的能力，考查數(shù)據(jù)處理能力．