Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³+3x²-1．
（1）若函數(shù)y=f（x）在相異兩動點(diǎn)A、B處的切線平行，求證：直線AB恒過一個定點(diǎn)．
（2）在（1）在條件下，若直線AB的斜率為2，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用兩直線平行的結(jié)論，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到恒過定點(diǎn)M，及坐標(biāo)；
（2）求出點(diǎn)O到直線AB的距離，以及弦長AB，運(yùn)用面積公式，即可得到．

解答 解：（1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
f（x）=x³+3x²-1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+6x，
由兩切線l₁∥l₂，得3x₁²+6x₁=3x₂²+6x₂，
化簡可得，x₁+x₂=-2，則x₁²+x₂²=4-2x₁x₂，
則y₁+y₂=x₁³+x₂³+3x₁²+3x₂²-2=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）+3（x₁²+x₂²）-2
=-2（4-3x₁x₂）+3（4-2x₁x₂）-2=2，
則AB恒過定點(diǎn)M，為線段AB的中點(diǎn)，坐標(biāo)為（-1，1）；
（2）直線AB的方程為y=2x+3，
點(diǎn)O到直線AB的距離為d=$\frac{3}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
k_AB=$\frac{{{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}+3（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x₁²+x₂²+x₁x₂+3（x₁+x₂）=4-x₁x₂-6=2，
則x₁x₂=-4，|AB|=$\sqrt{1+4}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{4+16}$=10．
則△AOB的面積$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$•10•$\frac{3}{\sqrt{5}}$=3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查兩直線的位置關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．