Question

3．在一次考試中，5名同學的數學、物理成績如表所示：

學生	A	B	C	D	E
數學（x分）	89	91	93	95	97
物理（y分）	87	89	89	92	93

（1）根據表中數據，求物理分y關于數學分x的回歸方程；
（2）試估計某同學數學考100分時，他的物理得分；
（3）要從4名數學成績在90分以上的同學中選出2名參加一項活動，以X表示選中的同學中物理成績高于90分的人數，試解決下列問題：
①求至少選中1名物理成績在90分以下的同學的概率；
②求隨機變變量X的分布列及數學期望E（X）．
（附：回歸方程：：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）根據回歸系數公式計算回歸系數，得出回歸方程；
（2）根據回歸方程估計；
（3）依次計算X=0，1，2時的概率，列出分布列計算數學期望．

解答 解：（1）$\overline{x}=\frac{89+91+93+95+97}{5}=93$，$\overline{y}=\frac{87+89+89+92+93}{5}=90$．
$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）$=（-4）²+（-2）²+0+2²+4²=40．
$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=（-4）×（-3）+（-2）×（-1）+0+2×2+4×3=30．
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{30}{40}=0.75$，$\stackrel{∧}{a}$=90-0.75×93=20.25．
∴物理分y關于數學分x的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.75x+20.25．
（2）當x=100時，$\stackrel{∧}{y}$=0.75×100+20.25=95.25分．
（3）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2．
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$．
P（X=1）=$\frac{{{C}_{2}^{1}C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$．
①至少選中1名物理成績在90分以下的同學的概率為P=P（X=0）+P（X=1）=$\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$．
②X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

∴X的數學期望E（X）=0×$\frac{1}{6}$+1×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{1}{6}$=1．

點評 本題考查了線性回歸方程的解法，古典概型的概率計算，隨機變量的數學期望，屬于基礎題．