Question

18．若x是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的取值范圍（1，$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 令sinx+cosx=t，則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，則y是關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)x的范圍得出t的范圍，利用二次函數(shù)性質(zhì)推出y的最小值．

解答 解：令sinx+cosx=t，則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=$t+\frac{{t}^{2}-1}{2}=\frac{{t}^{2}}{2}+t-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}（t+1）^{2}-1$，
∵x是三角形的最小內(nèi)角，∴x∈（0，$\frac{π}{3}$]，
則t=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$]，∴$x+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}]$，
則t∈（1，$\sqrt{2}$]，
則y∈（1，$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．
故答案為：（1，$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．