Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$．
（1）當(dāng)a=$\frac{16}{3}$時(shí)，求f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞1恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值；
（3）由（2）∈（1，+∞），lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$，令x=$\frac{k+1}{k}$，得到$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{1}{2k+1}$，利用累加，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=lnx+$\frac{16}{3（x+1）}$，其定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{16}{3（x+1）^{2}}$=$\frac{3（x+1）^{2}-16x}{3（x+1）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{3}$，或x=3，
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜$\frac{1}{3}$，或x＞3時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即$\frac{1}{3}$＜x＜3時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{3}$），（3，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{3}$，3）；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$＞1恒成立，
∴a＞（x+1）（1-lnx）在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=（x+1）（1-lnx），
∴g′（x）=-$\frac{1}{x}$-lnx＜0在（1，+∞）恒成立，
∴g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=2
∴a≥2；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$，
由（2）知x∈（1，+∞），lnx+$\frac{2}{x+1}$＞1
∴l(xiāng)nx＞$\frac{x-1}{x+1}$，
令x=$\frac{k+1}{k}$，
∴l(xiāng)n$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{1}{2k+1}$，
∴l(xiāng)n$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問(wèn)題，不等式的證明，屬于中檔題．