Question

14．已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=3^x-5，
（1）已知集合A={x|m（x-2m）（x+m+3）≤0}，B={y|y=g（x），x∈[0，log₃7]}，若命題p：x∈A，命題q：x∈B且p是q的充要條件，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若同時(shí)滿足條件：①?x∈[1，+∞），f（x）＜0；②?x∈（-∞，-4），f（x）•g（x）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)g（x）的單調(diào)性求出g（x）的最大值和最小值，結(jié)合p是q的充要條件，得到-4，2是方程（x-2m）（x+m+3）=0的根，解出a的值即可；
（2（可推得f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立，建立關(guān)于m的不等式組可得m的范圍，然后由（2）可得：?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，只要使-4比2m，-m-3中較小的一個(gè)大即可，分類討論可得m的范圍，綜合可得．

解答 解：（1）∵g（x）在x∈[0，log₃7]上遞增，
∴g（x）_min=g（0）=-4，g（x）_max=g（log₃7）=2，
若p是q的充要條件，則-4，2是方程（x-2m）（x+m+3）=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m=2}\\{-m-3=-4}\end{array}\right.$，解得：m=-1；
（2）解：∵g（x）=3^x-5，當(dāng)x＜-4時(shí)，g（x）＜0，
又∵?x∈[1，+∞），f（x）＜0，
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立
所以二次函數(shù)圖象開口只能向下，且與x軸交點(diǎn)都在（1，0）的左側(cè)，
即 $\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-m-3＜1}\\{2m＜1}\end{array}\right.$，解得-4＜m＜0；
又因?yàn)?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
而此時(shí)有g(shù)（x）=2^x-2＜0．
∴?x∈（-∞，-4），使f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0成立，
由于m＜0，所以?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，
故只要使-4比2m，-m-3中較小的一個(gè)大即可，
當(dāng)m∈（-1，0）時(shí)，2m＞-m-3，只要-4＞-m-3，解得m＞1與m∈（-1，0）的交集為空集；
當(dāng)m=-1時(shí)，兩根為-2；-2＞-4，不符合；
當(dāng)m∈（-4，-1）時(shí)，2m＜-m-3，∴只要-4＞2m，解得m＜-2，
綜上可得m的取值范圍是：（-4，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．