Question

18．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，a₁=2，且a₁，a₂，a₃-8成等差數(shù)列，數(shù)列{a_nb_n}的前n項和為$\frac{（2n-1）•3^n+1}{2}$．
（1）分別求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列c_n=$\frac{2b_n-9}{a_n}$，?_n∈N^*，c_n≤m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得2a₂=a₁+a₃-8，進(jìn)一步得到$2{a}_{1}q={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}-8$，求出公比后可得數(shù)列{a_n}的通項公式，再由數(shù)列{a_nb_n}的前n項和為$\frac{（2n-1）•3^n+1}{2}$，利用錯位相減法求得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）由c_n=$\frac{2b_n-9}{a_n}$，可得${c}_{n+1}-{c}_{n}=\frac{2n-7}{2•{3}^{n}}-\frac{2n-9}{2•{3}^{n-1}}=\frac{-4n+20}{2•{3}^{n}}$，然后對n分類討論得答案．

解答 解：（1）∵a₁=2，且a₁，a₂，a₃-8成等差數(shù)列，∴2a₂=a₁+a₃-8，
即$2{a}_{1}q={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}-8$，∴q²-2q-3=0，
即q=3或-1，而q＞1，∴q=3，則${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$，
∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=$\frac{（2n-1）•3^n+1}{2}$，
∴${a}_{1}_{1}+{a}_{2}_{2}+…+{a}_{n-1}_{n-1}=\frac{（2n-3）•{3}^{n-1}=1}{2}（n≥2）$，
兩式相減得：${a}_{n}_{n}=2n•{3}^{n-1}（n≥2）$，
∵${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$，∴b_n=n（n≥2），
又n=1時，可得b₁=1，
∴b_n=n；
（2）由（1）得，${c}_{n}=\frac{2n-9}{2•{3}^{n-1}}$，
∴${c}_{n+1}-{c}_{n}=\frac{2n-7}{2•{3}^{n}}-\frac{2n-9}{2•{3}^{n-1}}=\frac{-4n+20}{2•{3}^{n}}$，
當(dāng)c_n+1=c_n，即n=5時，c₅=c₆；
當(dāng)c_n+1＞c_n，即n＜5時，c₁＜c₂＜c₃＜c₄＜c₅；
當(dāng)c_n+1＜c_n，即n＞5時，c₆＞c₇＞c₈＞…．
∴c_n的最大值是${c}_{5}={c}_{6}=\frac{1}{162}$．
∴m的最小值為$\frac{1}{162}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，考查數(shù)列不等式，是中檔題．