Question

6．若函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$在區(qū)間（-2，+∞）上，對任意的自變量都滿足（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍是？

Answer 1

分析 先分離常數(shù)得到$f（x）=a+\frac{1-2a}{x+2}$，而根據條件及增函數(shù)的定義便知f（x）在（-2，+∞）上單調遞增，從而便可得到1-2a＜0，這樣即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：$f（x）=\frac{ax+1}{x+2}=\frac{a（x+2）+1-2a}{x+2}=a+\frac{1-2a}{x+2}$；
∵（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；
∴f（x）在（-2，+∞）上為增函數(shù)；
∴1-2a＜0；
∴$a＞\frac{1}{2}$；
∴實數(shù)a的取值范圍為$（\frac{1}{2}，+∞）$．

點評 考查分離常數(shù)法的運用，增函數(shù)的定義，以及反比例函數(shù)的單調性，函數(shù)沿x軸，y軸方向上的平移變換．