Question

18．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b∈N^*），兩焦點是F₁、F₂，點P在雙曲線上，又|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列，且|PF₂|＜4，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 利用雙曲線的方程得到a，利用雙曲線的定義得到|PF₁|=|PF₂|+4，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，由于|PF₂|＜4，所以方程|PF₂|²+4|PF₂|-4c²=0在（0，4）上有解，得到c的范圍從而得到b的范圍，據(jù)b是自然數(shù)，求出b的值，即可求雙曲線的方程．

解答 解：由題意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由雙曲線的定義，不妨設(shè)|PF₁|-|PF₂|=4，即|PF₁|=|PF₂|+4，
|PF₂|＜4，得|PF₂|²+4|PF₂|-4c²=0在區(qū)間（0，4）上有解，即4c²=|PF₂|²+4|PF₂|有解
又|PF₂|＜4，故|PF₂|²+4|PF₂|＜32
所以c²＜8
因此b²＜4，又b∈N^*，
所以b=1
所以雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

點評 本題考查雙曲線的定義，等比數(shù)列的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是有難度的綜合問題，．