Question

20．若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ=120°，那么實(shí)數(shù)x為何值時(shí)，|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$|的值最�。�

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-2，令y=|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$|，由向量的平方即為模的平方，結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求值．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ=120°，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos120°=2×2×（-$\frac{1}{2}$）=-2，
令y=|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$|，則y²=|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²-2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+x²$\overrightarrow$²
=4+4x+4x²=4（x+$\frac{1}{2}$）²+3，
即有當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow$|的值取得最小值，且為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，同時(shí)考查二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．