Question

10．求函數(shù)y=sin²x-sinx，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]的值域．

Answer 1

分析 令t=sinx，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，得到y(tǒng)=t²-t，t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，利用其開口方向向上，對稱軸為t=$\frac{1}{2}$，即可求得其值域．

解答 解：令t=sinx，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴∴y=t²-t，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∵開口方向向上，對稱軸為t=$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，y_min=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$，y_max=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴函數(shù)y=sin²x-sinx，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]的值域為[-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，著重考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查換元思想的應(yīng)用，屬于中檔題．