Question

15．在?ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點，若$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BE}$=1，則$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=x，運用向量的加減運算和平面向量的基本定理，由向量AB，AD，表示向量AC，AE，BE，運用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，解方程可得x，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)AB=x，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$-$\overrightarrow{AB}$
=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
即有$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$
=1-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x•$\frac{1}{2}$=1，
解得x=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
即有$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）
=$\overrightarrow{AD}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的求法，注意運用向量的加減運算和數(shù)量積的性質(zhì)，考查運算化簡能力，屬于中檔題．