Question

【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準(zhǔn)圓”的方程；

（2）若橢圓的“準(zhǔn)圓”的一條弦（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于、兩點(diǎn)，試證明：當(dāng)時(shí)，試問弦的長是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為；橢圓的“準(zhǔn)圓”方程為；（2）弦的長為定值．

【解析】

試題分析：（1）求方程，關(guān)鍵是求，只要把兩個(gè)已知條件轉(zhuǎn)化為的方程即可，由得，由得，聯(lián)立后可得結(jié)論；（2）這是定值問題，解題時(shí)設(shè)直線的方程為，且與橢圓的交點(diǎn)，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元后得關(guān)于的一元二次方程，可得，計(jì)算，由＝0，可得的關(guān)系式，問題是弦長為定值，由于弦是定圓中的弦，因此只要求得圓心到直線的距離，如果為定值，則弦長也為定值．

試題解析：（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由得，又，即且，所以，

則橢圓的方程為；橢圓的“準(zhǔn)圓”方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，且與橢圓的交點(diǎn)，

聯(lián)列方程組 代入消元得：

由

可得由得即，所以

此時(shí)成立，

則原點(diǎn)到弦的距離,

得原點(diǎn)到弦的距離為，則，

故弦的長為定值.