Question

7．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），若$y=\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“一階比增函數(shù)”．
（1）若f（x）=ax²+ax是“一階比增函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）是“一階比增函數(shù)”，求證：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），總有f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（3）若f（x）是“一階比增函數(shù)”，且f（x）有零點，求證：關于x的不等式f（x）＞2015有解．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“一階比增函數(shù)”的定義便可得出函數(shù)$\frac{a{x}^{2}+ax}{x}=ax+a$在（0，+∞）上為增函數(shù)，從而由一次函數(shù)的單調性便可得出實數(shù)a的取值范圍；
（2）對任意x₁，x₂∈（0，+∞），有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，而函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，從而可以得出$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＜\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}＜\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，這樣即可得出f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（3）根據(jù)條件可知，存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，從而便可得出x＞x₀時，f（x）＞0，從而可取t∈（0，+∞），并滿足f（t）＞0，可設f（t）=m，根據(jù)（2）便可得出f（2t）＞2m，f（4t）＞4m，f（8t）＞8m，從而便有f（2ⁿt）＞2ⁿm，n∈N^*，顯然存在n∈N^*，使得2ⁿm＞2015，這樣即得出關于x的不等式f（x）＞2015有解．

解答 解：（1）依題意可知：函數(shù)$y=\frac{f（x）}{x}=\frac{{a{x^2}+ax}}{x}=ax+a$在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)；
由一次函數(shù)性質可知一次項系數(shù)a＞0；
∴實數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）；
（2）證明：因為f（x）為“一階比增函數(shù)”，即$y=\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上為增函數(shù)；
又對任意x₁，x₂∈（0，+∞），有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂；
故$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}＜\frac{{f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$，$\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}＜\frac{{f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$；
∴$f（{x_1}）＜\frac{{{x_1}f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$，$f（{x_2}）＜\frac{{{x_2}f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$；
不等式左右兩邊分別相加得：$f（{x_1}）+f（{x_2}）＜\frac{{{x_1}f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}+\frac{{{x_2}f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}=f（{{x_1}+{x_2}}）$；
因此，對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），總有f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（3）證明：設f（x₀）=0，其中x₀＞0；
因為f（x）是一階比增函數(shù)，所以當x＞x₀時，$\frac{f（x）}{x}＞\frac{{f（{x_0}）}}{x_0}=0$，即f（x）＞0；
取t∈（0，+∞），滿足f（t）＞0，記f（t）=m；
由（2）知f（2t）＞2f（t）=2m；
同理可得：f（4t）＞2f（2t）=4m，f（8t）＞2f（4t）＞8m；
∴一定存在n∈N*，使得f（2ⁿt）＞2ⁿm＞2015；
故不等式f（x）＞2015有解．

點評 考查對“一階比增函數(shù)”定義的理解，一次函數(shù)的單調性，增函數(shù)的定義，以及不等式的性質，函數(shù)零點的定義，歸納思想的應用，清楚指數(shù)函數(shù)的值域．