Question

15．已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₂且傾斜角為45°的直線(xiàn)，雙曲線(xiàn)右支交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₁為等腰三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率為$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意不妨設(shè)|AF₁|=|AB|，設(shè)|AF₂|=m，|BF₂|=n，再由由雙曲線(xiàn)的定義可得，|AF₁|=2a+m，|BF₁|=2a+n，在△BF₁F₂中，運(yùn)用余弦定理，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意不妨設(shè)|AF₁|=|AB|，
設(shè)|AF₂|=m，|BF₂|=n，
由雙曲線(xiàn)的定義可得，|AF₁|=2a+m，|BF₁|=2a+n，
即有2a+m=m+n，可得n=2a，
在△BF₁F₂中，由余弦定理可得
（4a）²=（2c）²+（2a）²-2•2c•2a•cos45°，
即為c²-$\sqrt{2}$ac-3a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-$\sqrt{2}$e-3=0，
解得e=$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}$舍去）．
故答案為：$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義和余弦定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．