Question

19．已知雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點為F₁（0，-c）（c＞0），離心率為e，過F₁平行于雙曲線漸近線的直線與圓x²+y²=c²交于另一點P，且點P在拋物線x²=4cy上，則e²=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+2}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}+2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的一條漸近線方程，設(shè)P（x，y），運用點P滿足拋物線的方程和圓的方程，解得P的坐標（用c表示），
再由兩直線平行的條件，即可得到a，b的關(guān)系，由離心率公式可得所求值．

解答 解：設(shè)P（x，y），
雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4cy①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}②}\\{\frac{y+c}{x}=\frac{a}③}\end{array}\right.$
將①代入②得y²+4cy-c²=0，
則y=-2c±$\sqrt{5}$c，
即y=（$\sqrt{5}$-2）c，（負值舍去），
代入③，即x=$\frac{（\sqrt{5}-1）bc}{a}$，
再將x代入①得，$\frac{（6-2\sqrt{5}）^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}$=4（$\sqrt{5}$-2）c²，
即為b²=c²-a²=$\frac{2（\sqrt{5}-2）}{3-\sqrt{5}}$a²，
即c²=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a²，
由e=$\frac{c}{a}$，
可得e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，拋物線的方程的運用，運用雙曲線的漸近線方程、以及直線平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．