Question

6．設(shè)f（x）=x-ae^x，x∈R，已知函數(shù)y=f（x）有兩個零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 對f（x）求導(dǎo)，討論f′（x）的正負(fù)以及對應(yīng)f（x）的單調(diào)性，得出函數(shù)y=f（x）有兩個零點(diǎn)的等價條件，從而求出a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x-ae^x，∴f′（x）=1-ae^x；
下面分兩種情況討論：
①a≤0時，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函數(shù)，不合題意；
②a＞0時，由f′（x）=0，得x=-lna，當(dāng)x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	極大值-lna-1	遞減

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-lna），減區(qū)間是（-lna，+∞）；
∴函數(shù)y=f（x）有兩個零點(diǎn)等價于如下條件同時成立：
①f（-lna）＞0；②存在s₁∈（-∞，-lna），滿足f（s₁）＜0；③存在s₂∈（-lna，+∞），滿足f（s₂）＜0；
由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e^-1；
取s₁=0，滿足s₁∈（-∞，-lna），且f（s₁）=-a＜0，
取s₂=$\frac{2}{a}$+ln$\frac{2}{a}$，滿足s₂∈（-lna，+∞），且f（s₂）=（$\frac{2}{a}$-${e}^{\frac{2}{a}}$）+（ln$\frac{2}{a}-{e}^{\frac{2}{a}}$）＜0；
∴a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值問題，也考查了函數(shù)思想、化歸思想、抽象概括能力和分析問題、解決問題的能力，是綜合型題目．