Question

1．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O點(diǎn)是內(nèi)心，且$\overrightarrow{AO}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+λ₂$\overrightarrow{BC}$，則λ₁+λ₂=$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，由題意得：r=OE=OF=AE=AF=$\frac{a+b-c}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$，從而表示出向量$\overrightarrow{AO}$，根據(jù)向量之間的加減關(guān)系，寫出向量與要求兩個(gè)向量之間的關(guān)系，得到兩個(gè)系數(shù)的值，求和得到結(jié)果．

解答 解：設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，
由題意得：r=OE=OF=AE=AF═$\frac{a+b-c}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$，
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$
=$\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，
∴${λ}_{1}=\frac{7}{12}$，${λ}_{2}=\frac{1}{4}$．
∴λ₁+λ₂=$\frac{5}{6}$．
故答案為：$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)，考查平面向量基本定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．