Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，則不等式f（log₂x）-f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）≥$\frac{2（{e}^{2}-1）}{{e}^{2}+1}$的解集為（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （0，2]
• D． [$\frac{1}{2}$，2]

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性質(zhì)，再原不等式轉(zhuǎn)化為log₂x≥1，解得即可．

解答 解：f（-x）=-$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$=-f（x），
∴f（log₂x）-f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）=f（log₂x）-f（-log₂x）=2f（log₂x），
∵f（log₂x）-f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）≥$\frac{2（{e}^{2}-1）}{{e}^{2}+1}$，
∴f（log₂x）≥$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+1}$=$\frac{e-{e}^{-1}}{e+{e}^{-1}}$=f（1），
∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$=1-$\frac{2{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$=1-$\frac{2}{{e}^{2x}+1}$為增函數(shù)，
∴l(xiāng)og₂x≥1=log₂2，
∴x≥2
故選：B．

點評 本題考查了奇偶性和單調(diào)性，以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和不等式的解法，屬于中檔題．