Question

證明不等式1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

2n+1

n+1

（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,推理和證明

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，驗(yàn)證不等式成立；（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，不等式成立，然后證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式左端=1+

1

22

=

5

4

，右端=

3

2

，所以不等式成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，不等式成立，即1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

＜

2k+1

k+1

，
則n=k+1時(shí)，不等式左端=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

+

1

(k+2)2

＜

2k+1

k+1

+

1

(k+2)2

，
∵

2k+1

k+1

+

1

(k+2)2

-

2k+3

k+2

=

-1

(k+1)(k+2)2

＜0，
∴

2k+1

k+1

+

1

(k+2)2

＜

2k+3

k+2

，
∴1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

+

1

(k+2)2

＜

2k+3

k+2

，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜合（1）、（2）得：當(dāng)n∈N^*時(shí)，都有1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

2n+1

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想．