Question

19．下列說法正確的有①⑤．
①函數y=x²-2|x|+1的遞減的區(qū)間是（-∞，-1]和[0，1]；
②函數y=$\frac{3-5x}{4x+1}$的值域是（-∞，$\frac{3}{4}$）∪（$\frac{3}{4}$，+∞）；
③函數f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-3x+2}$+$\sqrt{x-1}$的定義域是{x|x≥1，且x≠2}；
④若函數f（x）=$\frac{（x+1）（x+a）}{x}$為奇函數，則a=1；
⑤已知二次函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x）（x∈R），且f（x）在（2，+∞）上是減函數，則f（-$\sqrt{2}$）＜f（5）＜f（$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 畫出函數圖象，數形結合得到函數的單調區(qū)間，可判斷①；求出函數的值域，可判斷②；求出函數的定義域，可判斷③；根據奇函數的性質，求出a值，可判斷④；結合函數的對稱性和單調性，比較三個函數的大小，可判斷⑤．

解答 解：函數y=x²-2|x|+1的圖象如下圖所示：

由圖可得：函數y=x²-2|x|+1的遞減的區(qū)間是（-∞，-1]和[0，1]，故①正確；
$\frac{3-5x}{4x+1}$=-$\frac{5}{4}$+$\frac{\frac{17}{4}}{4x+1}$≠-$\frac{5}{4}$，
故函數y=$\frac{3-5x}{4x+1}$的值域是（-∞，-$\frac{5}{4}$）∪（-$\frac{5}{4}$，+∞），故②錯誤；
根據$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-3x+2≠0\\ x-1≥0\end{array}\right.$得：x＞1，且x≠2，
故函數f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-3x+2}$+$\sqrt{x-1}$的定義域是{x|x＞1，且x≠2}，故③錯誤；
若函數f（x）=$\frac{（x+1）（x+a）}{x}$為奇函數，f（-x）=$\frac{（-x+1）（-x+a）}{-x}$=-f（x），解得a=-1，故④錯誤；
二次函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），則函數圖象關于直線x=2對稱，
f（-$\sqrt{2}$）=f（4+$\sqrt{2}$），f（$\sqrt{3}$）=f（4-$\sqrt{3}$），
若f（x）在（2，+∞）上是減函數，
則f（4+$\sqrt{2}$）＜f（5）＜f（4-$\sqrt{3}$）
∴f（-$\sqrt{2}$）＜f（5）＜f（$\sqrt{3}$），故⑤正確；
故說法正確的有：①⑤，
故答案為：①⑤

點評 本題以命題的真假判斷和應用為載體，考查了函數的單調性，定義域，值域，奇偶性，對稱性，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．