Question

14．函數(shù)$f（x）=cos（-\frac{x}{2}）+cos（\frac{4k+1}{2}π-\frac{x}{2}）\;，\;k∈Z\;，\;x∈R$．
（1）求f（x）的周期；
（2）f（x）在[0，π）上的減區(qū)間；
（3）若f（α）=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，$α∈（\;0\;，\;\frac{π}{2}）$，求$tan（2α+\frac{π}{4}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由誘導公式和和差角（輔助角）公式，將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，根據(jù)ω=$\frac{1}{2}$，可得f（x）的周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，進而可得f（x）在[0，π）上的減區(qū)間；
（3）若f（α）=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，可得$sinα=\frac{3}{5}$，進而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式求出α的余弦和正切，再由二倍角的正切公式和兩角和的正切公式，得到答案．

解答 解：（1）$f（x）=cos（-\frac{x}{2}）+cos（\frac{4k+1}{2}π-\frac{x}{2}）\;=cos\frac{x}{2}+cos（\;2kπ+\frac{π}{2}-\frac{x}{2}\;）$=$sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}=\sqrt{2}sin\;（\;\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）$，（k∈Z）
∵ω=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$．                …（5分）
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}+\frac{π}{4}≤\frac{3}{2}π+2kπ\(zhòng);，\;k∈Z$，
得$\frac{π}{2}+4kπ≤x≤\frac{5}{2}π+4kπ\(zhòng);，\;k∈Z$．
又x∈[0，π），
令k=0，得$\frac{π}{2}≤x≤\frac{5}{2}π$；
令k=-1，得$-\frac{7π}{2}≤x≤-\frac{3}{2}π$（舍去）
∴f（x）在[0，π）上的減區(qū)間是$[\;\frac{π}{2}\;，\;π\(zhòng);）$．     …（9分）
（3）由f（α）=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，得$sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}=\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，
∴$1+sinα=\frac{8}{5}$，∴$sinα=\frac{3}{5}$
又$α∈（\;0\;，\;\frac{π}{2}）$，
∴$cosα=\sqrt{1-{{sin}^2}α}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$
∴$tanα=\frac{sinα}{cosα}=\frac{3}{4}$，
∴$tan2α=\frac{2tanα}{{1-{{tan}^2}α}}=\frac{{2×\frac{3}{4}}}{{1-\frac{9}{16}}}=\frac{24}{7}$
∴$tan（2α+\frac{π}{4}）$=$\frac{{tan2α+tan\frac{π}{4}}}{{1-tan2αtan\frac{π}{4}}}=\frac{{\frac{24}{7}+1}}{{1-\frac{24}{7}}}=-\frac{31}{17}$．      …（14分）

點評 本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導公式和和差角（輔助角）公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，二倍角的正切公式和兩角和的正切公式，是三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．