Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2=0，BC=

1

2

AD，E是線段AB的中點．
（1）求證：PE⊥CD；
（2）F為線段PC的中點，求平面PBC與平面DEF所成銳二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得AD⊥PE，PE⊥AB，從而PE⊥平面ABCD，由此能證明PE⊥CD．
（2）以E為原點，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，利用向量法能求出銳二面角的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：因為AD⊥側(cè)面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．
又因為△PAB是等邊三角形，E是線段AB的中點，
所以PE⊥AB．
因為AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．
而CD?平面ABCD，所以PE⊥CD．
（2）解：以E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz．
則有A（0，1，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），
D（2，1，0），P(0，0，

3

)，F(

1

2

，-

1

2

，

3

2

)
設(shè)

n

=(x1，y1，z1)為平面DEF的法向量，

ED

=(2，1，0)，

EF=

(

1

2

，-

1

2

，

3

2

)，
由

ED • n =0 EF • n =0

，有

2x1+y1=0 1 2 x- 1 2 y+ 3 2 z=0

，
取x1=1，y1=-2，z1=-

3

，所以

n

=(1，-2，-

3

)．
設(shè)平面BCP的法向量為

m

=(x2，y2，z2)，

CB

=(-1，0，0)，

CP

=(-1，1，

3

)
由

CB • m =0 CP • m =0

，有

-x2=0 -x2+y2+ 3 z2=0

，
取x2=0，y2=-

3

，z2=1，所以

m

=(0，-

3

，1)，
所以cos＜

n

，

m

＞=

2 3 - 3

3+1 × 1+4+3

=

6

8

，
故銳二面角的平面角的余弦值為

6

8

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．