已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點F，左、右頂點A1、A2，右準線l：x=4且|A2F|=1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點F且斜率不為零的直線交橢圓與B、C兩點，直線A1B、A1C分別交l于點M、N，試判斷點F是否在以MN為直徑的圓上．
考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由準線方程和橢圓的性質(zhì)，以及a，b，c的關系式，即可得到橢圓方程；
（2）設過點F且斜率不為零的直線BC：y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得到二次方程，運用韋達定理，設M（4，m），N（4，n），運用三點共線知識，再計算
MF
•
NF
是否為0，注意化簡整理，即可判斷．
解答： 解：（1）由題意得，a-c=1，
a2
c
=4，解得，a=2，c=1，由b2=a2-c2=3，
則橢圓C的標準方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）設過點F且斜率不為零的直線BC：y=k（x-1），
與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得到（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
設B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=
8k2
3+4k2
，x1x2=
4k2-12
3+4k2
，
設M（4，m），N（4，n），則
MF
=（-3，-m），
NF
=（-3，-n），
由A1，B，M共線，得
y1
x1+2
=
m
6
，
由A1，C，N共線，得
y2
x2+2
=
n
6
．
則
MF
•
NF
=9+mn=9+
36y1y2
(x1+2)(x2+2)
=9+36•k2•
(x1-1)(x2-1)
(x1+2)(x2+2)

=9+36k2•
(4k2-12)+(3+4k2)-8k2
(4k2-12)+4(3+4k2)+16k2
=0，
故
MF
⊥
NF
，即有點F在以MN為直徑的圓上．
點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是準線方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，運用韋達定理，同時考查向量的垂直的條件，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若P、Q是兩個非空數(shù)集，定義P與Q的差集P-Q={x|x∈P且x∉Q}，已知集合A={x|a＜x＜0}，集合B={x|-b＜x＜b}，其中a，b是滿足|a|≥|b|的整數(shù)，在集合A中隨機取一個整數(shù)c，若c屬于差集A-B的概率P1=
2
3
，屬于集合A∩B的概率P2=
1
3
，則整數(shù)a，b應滿足的條件是（　　）
A、a+3b=-1（b≥1，b∈Z）
B、a+3b=-1，（b≥2，b∈Z）
C、a+3b=2（b≥1，b∈Z）
D、a+3b=2，（b≥2，b∈Z）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
a
，
b
是兩個非零向量，則下列命題正確的是（　　）
A、若
a
⊥
b
，則|
a
-
b
|=|
a
|+|
b
|
B、若|
a
-
b
|=|
a
|+|
b
|，則
a
⊥
b
C、若存在實數(shù)λ，使得
a
=λ
b
，則|
a
-
b
|=|
a
|+|
b
|
D、若|
a
-
b
|=|
a
|+|
b
|，則存在實數(shù)λ，使得
a
=λ
b

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2=0，BC=
1
2
AD，E是線段AB的中點．
（1）求證：PE⊥CD；
（2）F為線段PC的中點，求平面PBC與平面DEF所成銳二面角的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=2，且對任意的正整數(shù)n，m，都有an+m=an+am．
（Ⅰ）求出a2，a3，a4，并猜想數(shù)列{an}的通項公式an（不需要證明）；
（Ⅱ）設bn=
1
2n+1
•an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移
π
3
個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的4倍，這樣就得到函數(shù)f（x）的圖象，若g（x）=f（x）cosx+
3
．
（1）將函數(shù)表示為g（x）=Asin（ωx+φ）+B（其中A，ω＞0，φ∈[-
π
2
，
π
2
]）的形式；
（2）若函數(shù)g（x）在區(qū)間[-
π
12
，θ]上的最大值為2，求θ的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0}．
（1）若A∪B=B，求a的取值范圍；
（2）若B?A，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2sinxcosx-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[-
π
4
，
π
4
]時，求函數(shù)f（x）的最大值，并寫出x相應的取值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x2-（a+1）x+a=0，求該方程的解組成的集合A．

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同步練習冊答案