Question

6．隨機抽取某廠的某種產品400件，經質檢，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產品的利潤（單位：萬元）為ξ．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求1件產品的平均利潤；
（Ⅲ）經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%．如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.75萬元，則三等品率最多是多少？

Answer 1

分析 （I）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列．
（II）由ξ的分布列，能求出1件產品的平均利潤．
（III）設技術革新后的三等品率為x，求出此時1件產品的平均利潤為E（x）=4.76-x（0≤x≤0.29），由此能求出三等品率最多為1%．

解答 （滿分12分）
解：（I）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2，
$P（ξ=6）=\frac{252}{400}=0.63$，
$P（ξ=2）=\frac{100}{400}=0.25$，
$P（ξ=1）=\frac{40}{400}=0.1$，
$P（ξ=-2）=\frac{8}{400}=0.02$，
故ξ的分布列為：

ξ	6	2	1	-2
P	0.63	0.25	0.1	0.02

（II）由ξ的分布列，得：
1件產品的平均利潤為：Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34（萬元）．
（III）設技術革新后的三等品率為x，
則此時1件產品的平均利潤為E（x）=6×0.7+2×（1-0.7-0.01-x）+x+（-2）×0.01=4.76-x（0≤x≤0.29）
依題意，E（x）≥4.75，即4.76-x≥4.75，解得x≤0.01
∴三等品率最多為1%．

點評 本題考查概率分布列的求法，考查產品的平均利潤的求法，考查三等品率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意不等式性質的合理運用．