Question

15．如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點(diǎn)． 將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（Ⅰ）求證：AD⊥BM；
（Ⅱ）求直線CM與平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）求出AM，BM，利用勾股定理的逆定理得出AM⊥BM．由面面垂直的性質(zhì)得出BM⊥平面ADM，于是AD⊥BM；
（II）作CH⊥AM于H，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出CH⊥平面ADM，于是∠CMH即為所求的線面角．

解答 （I）證明：∵AD=DM=1，CM=BC=1，∠ADM=∠BCM=90°，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$，又AB=2，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM，又AD?平面ADM，
∴AD⊥BM．
（II）解：在平面ABCM內(nèi)作CH⊥AM于H，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，CH?平面ABCM，
∴CH⊥平面ADM．
∴∠CMH就是CM與平面ADM所成的角．
由平面幾何知識(shí)可知∠CMH=45°．
∴直線CM與平面ADM所成角的正弦值為sin∠CMH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．