Question

20．已知A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}．
（1）求（A∪B）∩C的元素個數(shù)為2的充要條件；
（2）求（A∪B）∩C的元素個數(shù)為3的充要條件．

Answer 1

分析 （1）結合充要條件的定義，作出集合A，B的圖象，利用（A∪B）∩C為兩個元素的集合，說明①直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1各有一個交點且不重合，②直線ax+y=1和x+ay=1重合，且與圓x²+y²=1有兩個不同的交點，求實數(shù)a即可；
（2）結合充要條件的定義，若（A∪B）∩C為含三個元素的集合，a≠0，a≠1．直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1必須交于三個點，即兩直線有一個交點在圓x²+y²=1上，且兩直線與圓還各有一個交點，利用對稱性求出實數(shù)a即可．

解答 解：（1）若（A∪B）∩C含兩個元素
①直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1各有一個交點且不重合，則滿足條件，此時a=0，如圖（1）所示
②直線ax+y=1和x+ay=1重合，且與圓x²+y²=1有兩個不同的交點，則滿足條件，此時a=1，如圖（2）所示
綜上，a=0或a=1時，（A∪B）∩C為含兩個元素的集合，
反之也成立，
即（A∪B）∩C的元素個數(shù)為2的充要條件是a=0或a=1．
（2）（A∪B）∩C含三個元素
顯然a≠0，a≠1．
直線ax+y=1和x+ay=1與圓x²+y²=1必須交于三個點，即兩直線有一個交點在圓x²+y²=1上，且兩直線與圓還各有一個交點
∵直線ax+y=1和x+ay=1關于直線y=x對稱
∴三個交點為（0，1），（1，0），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，1），（1，0），（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
如圖（3）（4）所示
此時a=-1±$\sqrt{2}$．
反之也成立，
即（A∪B）∩C的元素個數(shù)為3的充要條件是a=-1±$\sqrt{2}$．

點評 本題考查充要條件的求解，子集、并集、交集的轉換，考查數(shù)形結合，分類討論的思想，轉化思想的應用，作出圖形，是解好本題的前提，是中檔題．