Question

8．已知（1+x）²⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀x²⁰，則$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+10{a}_{10}}{{2}^{10}}$的值為（　�。�

• A． 20
• B． 15
• C． 5
• D． 1

Answer 1

分析 在所給的等式中，令n=10，兩邊同時求導可得10 （1+x）⁹=a₁+2a₂ x+3a₃ x²+…+10a₁₀x⁹，再令x=1可得a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀的值．

解答 解：對于（1+x）²⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀x²⁰，
可得（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，兩邊同時求導可得
10 （1+x）⁹=a₁+2a₂ x+3a₃ x²+…+10a₁₀x⁹，
再令x=1可得 a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀=10•2⁹=5120，
$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+10{a}_{10}}{{2}^{10}}$=$\frac{5120}{{2}^{10}}$=$\frac{5×{2}^{10}}{{2}^{10}}$=5．
故選：C．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，在二項展開式中，通過給變量賦值，求得某些項的系數(shù)和，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．