Question

偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時，f（x）=1-x，則關(guān)于x的方程f（x）=log₉（x+1）解的個數(shù)是

 

個．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性畫出函數(shù)f（x）和y=log₉（x+1）的圖象，觀察圖象交點個數(shù)，進(jìn)而即可得到答案．

解答： 解：①設(shè)x∈[-1，0]，則（-x）∈[0，1]，
又∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=-（x+1）．
由函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x）=f（x+2），
∴函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)．
因此可以先畫出y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的圖象，根據(jù)周期性即可畫出整個定義域內(nèi)的圖象．
②畫出g（x）=log₉（x+1）的圖象，

由圖象和上面的分析可知：函數(shù)y=f（x） 與y=g（x）有且僅有8個交點，即關(guān)于x的方程f（x）=log₉（x+1）解的個數(shù)是8．
故答案為：8

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性及畫出圖象是解題的關(guān)鍵．