Question

15．已知函數(shù)f（x）=（-x²+ax+b）（e^x-e），當x＞0時f（x）≤0，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．

Answer 1

分析 設g（x）=-x²+ax+b，h（x）=e^x-e，根據(jù)條件當x＞0時f（x）≤0，判斷兩個函數(shù)的符號關系得到g（x）必需過點（1，0）點，建立a，b的關系，根據(jù)一元二次函數(shù)根的關系進行求解即可．

解答 解：設g（x）=-x²+ax+b，h（x）=e^x-e，
則h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且h（1）=0，
若當x＞0時f（x）≤0，則滿足當x＞1時，g（x）＜0，
當0＜x＜1時，g（x）＞0，
即g（x）必需過點（1，0）點，則g（1）=-1+a+b=0，則b=1-a，
此時函數(shù)g（x）與h（x）滿足如圖所示：
此時g（x）=-x²+ax+1-a=-（x-1）[x-（a-1）]，
則滿足函數(shù)g（x）的另外一個零點a-1≤0，
即a≤1，
故答案為：（-∞，1]．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的符號相反，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．