Question

14．函數(shù) y=cos2x+2cosx的值域是（　　）

• A． [-1，3]
• B． $[-\frac{3}{2}，3]$
• C． $[-\frac{3}{2}，-1]$
• D． $[\frac{3}{2}，3]$

Answer 1

分析 f（x）=cos2x+2cosx=2cosx+2cos²x-1，利用配方法結(jié)合y=cosx的值域即可求得函數(shù)f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域．

解答 解：∵f（x）=cos2x+2cosx=2cosx+2cos²x-1=2（cosx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$，
又-1≤cosx≤1，
∴當(dāng)cosx=1時，f（x）_max=2×$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{2}$=3，
當(dāng)cosx=-$\frac{1}{2}$時，f（x）_min=-$\frac{3}{2}$；
故函數(shù)f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是[-$\frac{3}{2}$，3]．
故選：B

點評 本題考查三角函數(shù)的最值與復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，難點在于求復(fù)合函數(shù)f（x）=2（cosx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$的最值，著重考查分類討論與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．