Question

17．如圖，已知四邊形ABCD滿足AD∥BC，BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a，E是
BC的中點(diǎn)，將△BAE沿AE折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F(xiàn)為B₁D的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥B₁D；
（2）求二面角F-AC-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）作輔助線利用線面垂直證明AE⊥B₁D；
（2）建立合理的坐標(biāo)系求出坐標(biāo)利用兩個(gè)面的法向量求得余弦值

解答 （1）證明：取AE的中點(diǎn)M，連接MB₁，MD，則AE⊥MB₁，AE⊥MD，所以AE⊥面MDB₁，則AE⊥B₁D--------------------（4分）

（2）解：分別以ME，MD，MB₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則$E（\frac{a}{2}，0，0）$，$C（a，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0）$$A（-\frac{a}{2}，0，0）$，$D（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0）$，${B_1}（0，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a）$，$F（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{4}a，\frac{{\sqrt{3}}}{4}a}）$，$\overrightarrow{AF}=（{\frac{a}{2}，\frac{{\sqrt{3}a}}{4}，\frac{{\sqrt{3}a}}{4}}），\overrightarrow{AC}=（{\frac{3a}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0}），\overrightarrow{A{B_1}}=（{\frac{a}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}a}}{2}}）$，
設(shè)面ACF的法向量為$\overrightarrow u=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow u•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow u•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$有$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}ax+\frac{{\sqrt{3}}}{2}ay=0\\ \frac{a}{2}x+\frac{{\sqrt{3}a}}{4}y+\frac{{\sqrt{3}a}}{4}z=0\end{array}\right.$令x=1$\overrightarrow{u}=（1，-\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}）$-------（7分）
設(shè)B₁AC的法向量$\overrightarrow{v}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}}\\{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\overrightarrow{0}}\end{array}\right.$有$\left\{\begin{array}{l}\frac{3a}{2}{x_2}+\frac{{\sqrt{3}a}}{2}{y_2}=0\\ \frac{a}{2}{x_2}+\frac{{\sqrt{3}a}}{2}{z_2}=0\end{array}\right.$令x₂=1，$\overrightarrow v=（1，-\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，--------------------------------（9分）
所以$cos＜\overrightarrow u，\overrightarrow v＞=\frac{{1+3-\frac{1}{3}}}{{\sqrt{1+3+\frac{1}{3}}×\sqrt{1+3+\frac{1}{3}}}}=\frac{11}{13}$，
二面角F-AC-B₁為銳角，故二面角F-AC-B1的余弦值為$\frac{11}{13}$．-------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直的方法和利用建立坐標(biāo)系求得二面角的余弦值，屬中檔題，高考�？碱}型．