Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，a₁=-$\frac{2}{3}$，S_n+$\frac{1}{S_n}+2={a_n}$（n≥2）．
（1）計算S₁，S₂，S₃，猜想S_n的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）設(shè)b_n=$\frac{S_n}{{{n^2}+n}}$，數(shù)列的{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＞-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件計算S₁，S₂，S₃，猜想S_n的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟證明即可；
（2）化簡b_n=$\frac{S_n}{{{n^2}+n}}$，利用裂項(xiàng)法求解數(shù)列的{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，即可證明T_n＞-$\frac{3}{4}$．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）因?yàn)閍_n=S_n-S_n-1（n≥2），所以${S_n}+\frac{1}{S_n}+2={S_n}-{S_{n-1}}$，由此整理得${S_n}=-\frac{1}{{2+{S_{n-1}}}}$，于是有：${S_1}=-\frac{2}{3}，{S_2}=-\frac{3}{4}，{S_3}=-\frac{4}{5}$，
猜想：${S_n}=-\frac{n+1}{n+2}$
證明：①當(dāng)n=1時，${S_1}=-\frac{2}{3}$，猜想成立．
②假設(shè)n=k時猜想成立，即${S_k}=-\frac{k+1}{k+2}$，
那么${S_{k+1}}=-\frac{1}{{2+{S_k}}}=-\frac{1}{{2-\frac{k+1}{k+2}}}=-\frac{k+2}{k+3}=-\frac{k+1}{（k+1）+2}$，
所以當(dāng)n=k+1時猜想成立，由①②可知，猜想對任何n∈N^*都成立．（6分）
（2）由（1）${b_n}=-\frac{1}{n（n+2）}=-\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，于是：${T_n}=-\frac{1}{2}[（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n+2}）]=-\frac{1}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
又因?yàn)?\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{3}{2}$，
所以${T_n}＞-\frac{3}{4}$．（12分）

點(diǎn)評 本小題主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)于數(shù)列的問題，雖存在著一定的難度，但是考試大綱規(guī)定考查內(nèi)容，屬于一道中檔題，對考生的運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力提出一定要求．