Question

15．已知函數f（x）=x²-3x+lnx-a，（a∈R）
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）討論f（x）的零點個數．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）令f（x）=0，得：a=x²-3x+lnx，求出f（x）的最大值和最小值，通過討論a的范圍求出零點的個數即可．

解答 解：（1）∵${f^'}（x）=2x-3+\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴增區(qū)間是$（{0，\frac{1}{2}}）和（{1，+∞}）$，減區(qū)間是$（{\frac{1}{2}，1}）$；
（2）令f（x）=0，得：a=x²-3x+lnx，
由${f^'}（x）=2x-3+\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
$f（\frac{1}{2}）=-\frac{5}{4}-ln2$，f（1）=-2，
∴當$a∈（\frac{5}{4}-ln2，+∞）$有一個零點；
當$a=\frac{5}{4}-ln2$有兩個零點；
當$a∈（-2，\frac{5}{4}-ln2）$有三個零點；
當a=-2有兩個零點；
當a＜-2有一個零點．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數零點，是一道中檔題．